發(fā)布時間：2020-04-13所屬分類：教育職稱論文瀏覽：1次
摘 要： 摘要：結(jié)合理工科碩士生數(shù)值分析課程的內(nèi)容、特點和教學(xué)實踐中的一些問題，較詳細地介紹了根據(jù)課程教學(xué)目標(biāo)進行教學(xué)設(shè)計的基本思想，給出了改進教學(xué)方法的手段，提高教學(xué)效果的途徑和方法。實踐表明，教學(xué)方法的改革能夠有效地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生理
摘要：結(jié)合理工科碩士生數(shù)值分析課程的內(nèi)容、特點和教學(xué)實踐中的一些問題，較詳細地介紹了根據(jù)課程教學(xué)目標(biāo)進行教學(xué)設(shè)計的基本思想，給出了改進教學(xué)方法的手段，提高教學(xué)效果的途徑和方法。實踐表明，教學(xué)方法的改革能夠有效地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生理解算法構(gòu)建思想，提升學(xué)生算法應(yīng)用能力。
關(guān)鍵詞：數(shù)值分析;教學(xué)模式;教學(xué)改革;MATLAB軟件
工學(xué)專業(yè)的數(shù)值分析課程教學(xué)內(nèi)容主要是高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)中有關(guān)知識或模型在實際問題研究中的引伸和發(fā)展。它包括數(shù)值代數(shù)、數(shù)值微積分、數(shù)值逼近和微分方程數(shù)值解等基本內(nèi)容。它是將所欲求解的數(shù)學(xué)模型(數(shù)學(xué)問題)簡化成一系列算術(shù)運算和邏輯運算，以便在計算機上求出問題的數(shù)值解，并對算法的收斂性、穩(wěn)定性等進行分析的全過程，與高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)課程的教學(xué)要求有較大的差異。
在數(shù)值分析課程教學(xué)中開展實踐性教學(xué)已成為共識。作為一門研究生公共基礎(chǔ)課程或?qū)I(yè)核心課程，教師應(yīng)注意它獨特的應(yīng)用性。盡管不少案例已經(jīng)出現(xiàn)于課堂教學(xué)中，但這些案例源自多個學(xué)科、相對零散、系統(tǒng)性與專業(yè)性不強，學(xué)生往往需要首先消化案例自身的原理，導(dǎo)致教學(xué)效果不佳。雖然目前有許多高校在數(shù)值分析或數(shù)值計算方法教學(xué)中引入了MATLAB軟件，利用MATLAB編寫數(shù)值算法程序，但主要還是以講授為主，由教師闡述基本理論和基本方法，通過軟件進行基本方法的驗證，缺少對綜合性問題的解決思路，對學(xué)生能力的提升并沒有起到預(yù)期的效果[1]。
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對研究生數(shù)值分析課程進行教學(xué)改革，推進研究生優(yōu)質(zhì)課程建設(shè)，需要教師在教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)模式和實踐環(huán)節(jié)等方面不斷地探索與實踐，才能更好地實現(xiàn)數(shù)值分析課程的教學(xué)目標(biāo)，培養(yǎng)研究生的創(chuàng)新能力。本文結(jié)合數(shù)值分析課程教學(xué)的內(nèi)容及特點進行了一些探索與實踐。
一、課程教學(xué)方式與存在的主要問題
(一)課程教學(xué)內(nèi)容與特點
數(shù)值分析課程的教學(xué)內(nèi)容主要是介紹如何利用計算機來求解工程問題的數(shù)值理論和方法，兼有理論課和實踐課的要求，主要有以下三個特點。
1.課程教學(xué)內(nèi)容比較豐富，以實際工程問題中所建立數(shù)學(xué)模型的數(shù)值求解為出發(fā)點，主要包括誤差的基礎(chǔ)知識、插值法、數(shù)值逼近、線性方程組的直接解法和迭代解法、非線性方程求根、數(shù)值微積分、微分方程數(shù)值解等內(nèi)容。
2.課程中介紹的常用數(shù)值算法邏輯性強、理論推導(dǎo)嚴密，有的方法構(gòu)造技巧性較高，學(xué)生理解和掌握不太容易，需要有較好的大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。
3.課程中介紹的數(shù)值算法需要能借助計算機編程實現(xiàn)，上機實習(xí)是必不可少的一個環(huán)節(jié)[2]。這既要求學(xué)生通過學(xué)習(xí)理解算法的思想，又要求學(xué)生能應(yīng)用計算機軟件來解決實際問題
總之，數(shù)值分析是一門理論比較抽象、計算公式比較煩瑣、實踐性強的課程。
(二)課程教學(xué)中存在的問題
數(shù)值分析課程作為工學(xué)專業(yè)研究生的公共基礎(chǔ)課，一般是多專業(yè)學(xué)生選課，課程大都采用大班的上課方式。課程教學(xué)以理論講授為主，沒有專門的上機學(xué)時。目前，課程教學(xué)中還存在以下問題。
1.在教學(xué)方法上，傳統(tǒng)的教學(xué)方法只注重算法的數(shù)學(xué)原理的推導(dǎo)，缺乏實踐環(huán)節(jié)的教學(xué)。在學(xué)時偏緊的課堂上，教師以理論知識為主講授的形式，把一些基本的算法理論傳授給學(xué)生。學(xué)生只是簡單地了解有些什么算法和一些驗證性實驗，并沒有很好地與實際問題相結(jié)合。大部分學(xué)生對這樣的方式不能很好地接受，學(xué)習(xí)效果并不理想。
2.學(xué)生對常用數(shù)值計算軟件(如MATLAB)的使用學(xué)習(xí)不足，動手能力普遍沒有得到提高。由于教學(xué)時數(shù)的制約，算法編程本身不是本課程教學(xué)的主要內(nèi)容。教師一般在課堂上不介紹算法的計算機實現(xiàn)問題。
3.在教學(xué)手段上，運用多媒體教學(xué)，雖然可擴展知識面和信息量，節(jié)約不少學(xué)時，但算法演示較少，對算法的收斂性、穩(wěn)定性等分析討論不夠。
4.在教材建設(shè)上，多數(shù)數(shù)值分析教材的內(nèi)容安排是先給出理論上的結(jié)論，進而用理論上的公式、定理等去解決實際問題，對各種問題常用計算方法的介紹相對獨立。
二、課程教學(xué)改革設(shè)想與實踐
(一)優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容
為提高大學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，教師可以適當(dāng)聯(lián)系一些實際問題，用心收集和編制教學(xué)案例，進行有效的案例式教學(xué)。例如，教師可結(jié)合當(dāng)前大數(shù)據(jù)時代的特征與要求，利用數(shù)值分析中的插值與擬合逼近方法、數(shù)值微積分方法等處理天氣預(yù)報、圖像處理、股票價格演變等問題。教學(xué)內(nèi)容應(yīng)該集中于算法的實現(xiàn)過程和實現(xiàn)方法方面，在課堂教學(xué)內(nèi)容、實踐教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法上做好優(yōu)化設(shè)計[3]。
另外，加入具有代表性的工程背景知識及MATLAB程序案例和代碼，能使學(xué)生更好地掌握工程背景、求解思想、數(shù)值算法和MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)等解決實際工程問題的全過程[4]。
(二)推進教學(xué)方法與教學(xué)手段改革
數(shù)值分析課程的教學(xué)內(nèi)容從表面上看既有高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，又有線性代數(shù)的知識，顯得比較松散，教師組織教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)時就常常會感到難以掌握。但數(shù)值代數(shù)、數(shù)值微積分、數(shù)值逼近等相對獨立的專題也給模塊化的教學(xué)設(shè)計帶來了便利。在教學(xué)方法和手段上，教師可根據(jù)不同的專題特點和要求，設(shè)計好教學(xué)內(nèi)容、編制好教案，從而組織好教學(xué)。課堂上不同算法的講授要區(qū)分重點和難點，主要分析常見算法的基本思想，比較算法的優(yōu)劣。
1.對自然現(xiàn)象規(guī)律的描述與探究幾乎都可以歸結(jié)為逼近問題，應(yīng)該說逼近的樸素思想與方法滲透于幾乎所有的學(xué)科。函數(shù)逼近是科學(xué)計算的基本問題，也是數(shù)值微積分的基礎(chǔ)。對插值、擬合等逼近方法，課堂教學(xué)應(yīng)主要討論如何用實驗測得的數(shù)據(jù)來找出對函數(shù)f在一定意義下的近似表示，并分析這種近似表示的誤差。因此，在教學(xué)方法上，教師可采用“講授式+討論式”的模式，從圖像處理(灰度或彩色數(shù)字圖像的放大/縮小)、股票交易日收盤價、天氣預(yù)報等大數(shù)據(jù)熱點的實際問題引入逼近問題的提法，圍繞數(shù)據(jù)處理過程，運用微積分工具(泰勒公式、泰勒級數(shù)、多元函數(shù)的極值問題等)進行誤差估計的方法，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)現(xiàn)如何提供一個穩(wěn)定的(或收斂的)、有效的逼近算法。這樣既可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又可以使學(xué)生在數(shù)據(jù)處理的過程中體會到算法設(shè)計的思想，還讓學(xué)生看到了高等數(shù)學(xué)思想在工程實踐中的具體應(yīng)用。
2.在數(shù)值代數(shù)方面，由于一些科技和工程問題常常歸結(jié)為線性代數(shù)中的線性方程組Ax=b的求解，本課程主要介紹低階稠密線性方程組的直接解法和大型稀疏線性方程組的迭代解法。這類解法的基本思想都可看成是對系數(shù)矩陣A的變換方法。對于工學(xué)研究生來說，在工程實際問題的處理中，矩陣是通用工具，而數(shù)學(xué)軟件MATLAB是常用軟件之一。由于線性代數(shù)內(nèi)容本身的抽象性，對于數(shù)值代數(shù)部分的教學(xué)，教師結(jié)合軟件的教學(xué)，可以幫助學(xué)生更好地理解各種矩陣變換之間的聯(lián)系與區(qū)別，以及諸如基于矩陣的直接三角分解法、對稱正定矩陣楚列斯基分解的平方根法、不同分裂矩陣的迭代法等數(shù)值算法的實用范圍。
不論是經(jīng)典的高斯消元法，還是逐次超松弛迭代法，雖然算法的向量(矩陣)形式簡潔，但教師在課堂講授時即使常使用三元低階線性方程組，寫出的分量格式在形式上也是較大的一塊。在這種情況下，結(jié)合多媒體課件的教學(xué)往往會起到事半功倍的效果。筆者在教學(xué)中結(jié)合編寫的教材[5]，選擇了一些實際問題案例，制作了電子課件，通過使用課件介紹算法的構(gòu)造過程及原理，用實際例子演示計算機求解過程，可以更好地幫助學(xué)生領(lǐng)會數(shù)值算法的核心思想，消除數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)的乏味。改變以往以課堂講授為主的教學(xué)模式，在課外增加利用MATLAB軟件解決實際問題的實踐環(huán)節(jié)，實現(xiàn)和檢驗算法的有效性，真正做到學(xué)以致用，增強學(xué)生學(xué)習(xí)的信心。
3.在計算微積分時，不易求得精確解的非線性方程求根問題、難于求出微分方程初值問題解析解等問題，都可以基于函數(shù)逼近/近似的方法設(shè)計相應(yīng)的數(shù)值方法求解。例如，數(shù)值積分的基本思想是把積分計算近似地表示為一些通過實驗或其他途徑得到的部分函數(shù)值的線性組合，就不必或不需要求出被積函數(shù)的原函數(shù)，而可以較直接地計算出積分的近似值;牛頓-科特斯求積公式就是在等距節(jié)點的情形下，利用插值多項式來近似地代替被積函數(shù)，便于定積分的計算和進行誤差估計。微分方程初值問題解析解多數(shù)情況下不能求得。最簡單、最古老的歐拉方法就是用未知可微函數(shù)的差商近似導(dǎo)數(shù)，用折線代替初值問題的積分曲線的逼近方法。這也是微積分學(xué)中“以直代曲”基本思想的體現(xiàn)。
教師在教學(xué)中要抓住函數(shù)逼近的思想和方法，根據(jù)不同的問題講授相應(yīng)的算法設(shè)計。這樣就可以引導(dǎo)學(xué)生不斷通過對問題解決方案的深入探求，增強求知欲。
不論是數(shù)值積分，還是非線性方程求根，都涉及到計算的效率問題。復(fù)化求積公式、龍貝格算法、牛頓迭代法求方程的根、龍格-庫塔方法等，都是加速求得實際問題較精確的數(shù)值解的逼近方法。因此，教師在教學(xué)中還要注意對算法的數(shù)值穩(wěn)定性、收斂階、代數(shù)精度、絕對穩(wěn)定性等的理論證明或推導(dǎo)。這些內(nèi)容的基礎(chǔ)就是做好對算法的誤差分析與估計。
(三)增設(shè)實驗教學(xué)環(huán)節(jié)
上文已提到增設(shè)實驗教學(xué)環(huán)節(jié)的重要性，這里要強調(diào)兩個方面。一方面，通過實踐訓(xùn)練，要求學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)值分析課程理論的同時，學(xué)會MATLAB軟件。雖然隨著時代的發(fā)展，各種各樣的編程工具不斷涌現(xiàn)，但對于科學(xué)計算來說，該軟件還是具有較強的生命力，對工學(xué)研究生來說，也是一個常用的軟件工具。另一方面，通過這樣一個環(huán)節(jié)，使學(xué)生在算法的計算機實現(xiàn)中更好地理解和應(yīng)用算法，能為算法的分析與設(shè)計打下較扎實的基礎(chǔ)。如今，多數(shù)教材以不同的形式將MATLAB或其他數(shù)學(xué)軟件編入教材中[6-7]。有的將軟件和其他計算機基礎(chǔ)知識作為一章或作為附錄;有的在介紹每個算法時，給出了例題的MATLAB源代碼;有的將源代碼作為附錄統(tǒng)一給出。不論哪種形式，都注意了算法的實現(xiàn)問題，為實踐教學(xué)提供了較好的指導(dǎo)藍本。
實踐教學(xué)環(huán)節(jié)的增設(shè)也能更好地檢驗學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。實際上，學(xué)生的上機實驗往往會出現(xiàn)一些問題。例如，多數(shù)學(xué)生只滿足于能運用機器得到一個運算的結(jié)果，而對如何使計算的結(jié)果以比較美觀的形式輸出，如何滿足題目的精度要求等問題常常不會仔細考慮。學(xué)生是否較好地掌握了算法，是否得到了正確的結(jié)果，他們自己實際上并不完全清楚�？傮w而言，針對數(shù)值分析課程各部分的教學(xué)內(nèi)容，分組或獨立完成相應(yīng)問題的求解，并在對算法總結(jié)時進行討論，是一種較好的教學(xué)模式。
三、結(jié)束語
數(shù)值分析課程由于涉及內(nèi)容較寬泛，可根據(jù)數(shù)值逼近、數(shù)值代數(shù)、數(shù)值微積分等模塊內(nèi)容，結(jié)合問題的工程背景，設(shè)計好相應(yīng)的算法教學(xué)案例，采取模塊式教學(xué)。對數(shù)值分析的基本理論和基本方法的介紹，教師應(yīng)考慮到學(xué)時和課程內(nèi)容本身，在教學(xué)手段上，可使用電子課件講授。在通過軟件演示算法的收斂性和穩(wěn)定性的同時，教師還要設(shè)計一些綜合性的問題，指導(dǎo)學(xué)生進行算法設(shè)計，并利用MATLAB軟件實現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力。
