發(fā)布時間：2020-04-16所屬分類：教育論文瀏覽：1次
摘 要： [摘要]離散數(shù)學是計算機專業(yè)的一門專業(yè)基礎(chǔ)課程，但是由于其教學內(nèi)容較抽象，導致學生無法充分理解并掌握理論的推導和證明邏輯，而且教師也難以凝練出切實可用的教學方法。對多屆江蘇大學計算機科學與通信工程學院的學生進行觀察和訪談發(fā)現(xiàn)，離散數(shù)學學習存
[摘要]離散數(shù)學是計算機專業(yè)的一門專業(yè)基礎(chǔ)課程，但是由于其教學內(nèi)容較抽象，導致學生無法充分理解并掌握理論的推導和證明邏輯，而且教師也難以凝練出切實可用的教學方法。對多屆江蘇大學計算機科學與通信工程學院的學生進行觀察和訪談發(fā)現(xiàn)，離散數(shù)學學習存在的最大問題是學生難以鎖定證明目標，易惑于復雜的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，進而無法搭建出正確、完整且清晰的證明邏輯。黑白目橋法是以目標導向法為指引，多次迭代使用黑盒理論、白盒理論和定義搭橋法，構(gòu)造一套用于離散數(shù)學理論推導和證明的邏輯體系。教師將其應(yīng)用于離散數(shù)學教學，可以幫助學生快速地提煉證明目標。
[關(guān)鍵詞]離散數(shù)學;證明推理;目標導向法;定義搭橋法
一、引言
離散數(shù)學是研究離散結(jié)構(gòu)及其性質(zhì)的學科。計算機中存儲和處理的數(shù)據(jù)皆是離散型的(比如，數(shù)值、文字、圖像、聲音、視頻等)，[1]因此，離散數(shù)學是計算機學科的重要專業(yè)基礎(chǔ)課。[2-3]離散數(shù)學的主要教學內(nèi)容包括數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)系統(tǒng)和圖論。[4]這些內(nèi)容為計算機學科的主干課程，如編譯原理、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、算法設(shè)計與分析、密碼學等，提供了重要支撐。因此，學習離散數(shù)學對于培養(yǎng)計算機專業(yè)學生系統(tǒng)設(shè)計、問題分析與求解等方面的能力具有非常重要的作用。[5]
但是離散數(shù)學的教學存在諸多問題。第一，離散數(shù)學課時少但課程內(nèi)容多，包括數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)結(jié)構(gòu)、圖論四個部分，而且這四部分內(nèi)容在表面上又是相對獨立的。第二，離散數(shù)學的內(nèi)容偏于抽象數(shù)學理論，在學習過程中學生認為其較為枯燥和困難。大部分學生對課程內(nèi)容一知半解，而教師則往往疲于講解數(shù)學理論的推導和證明，忽視對教學思想的凝練。[6]以上存在的問題影響了學生對離散數(shù)學證明邏輯的掌握，更嚴重的是影響學生后繼課程的學習，不利于計算機專業(yè)人才的培養(yǎng)。因此，讓學生在有限課時內(nèi)牢固掌握推理邏輯，是離散數(shù)學教學任務(wù)的重中之重。經(jīng)過廣泛的調(diào)查和研究，筆者發(fā)現(xiàn)基于目標導向的教學模式在一定程度上能夠幫助訓練學生快速定位證明目標的思維方式。學生在后繼學習離散數(shù)學的過程中，能夠剝繭抽絲，快速理解并掌握相關(guān)理論的證明和推導，進而推廣到其他學科的學習以及計算機工程應(yīng)用領(lǐng)域中。
目標導向理論由加拿大學者豪斯于20世紀70年代提出，在現(xiàn)代大學教育中被廣泛應(yīng)用。該理論認為要達到任何一個目標都必須經(jīng)過目標行為，而要進入目標行為又必須先經(jīng)過目標導向行為。顏海波等以目標導向為指引，圍繞培養(yǎng)學生掌握知識、獲取能力這一目標，對課程知識群編制進行了研究。[7]葉苗苗按照目標導向的理念，系統(tǒng)地構(gòu)建了“基于目標導向的一體化人才培養(yǎng)體系”，在一定程度上優(yōu)化了高等院校現(xiàn)有的人才培養(yǎng)體系。[8]目標導向不僅僅可用于大學教育，還可以用于中小學教育，具有普適性。趙偉新以小學自然為例，使用目標導向法展示了學生課堂活動設(shè)計。[9]沈松權(quán)以“等腰三角形”課例研究為例，基于目標導向法說明如何在課堂教學活動中落實數(shù)學深度思考，形成數(shù)學核心素養(yǎng)。[10]吳書談針對當前信息技術(shù)教育存在的問題，基于目標導向法提出了一些改善信息技術(shù)課堂教學效果的策略。[11]丹麥奧爾堡大學從建校至今，一直以基于目標的學習方法實施教學，在學生培養(yǎng)質(zhì)量上取得了顯著效果。
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但是在離散數(shù)學的具體教學過程中，僅僅運用目標導向法是不足夠的。離散數(shù)學教學主要存在兩個難點問題:第一，如何鎖定證明目標;第二，如何在證明目標和目標行為之間進行嫁接。目標導向法只能解決第一個問題。為了同時解決這兩個問題，本文以目標導向法為主體，結(jié)合黑盒理論、白盒理論和定義搭橋法，提出一套全新的離散數(shù)學教學新理念，簡稱“黑白目橋法”。黑白目橋法教學理念在一定程度上解決了學生的推理和證明困難，并激發(fā)了學生對黑白目橋法的思考和衍生應(yīng)用。筆者在計算機學院多個年級的離散數(shù)學教學中進行了試驗，學生的學習反饋結(jié)果證明了該方法的有效性，而且該教學理念因簡單易懂而廣受學生的歡迎。
二、黑白目橋法的思想
黑白目橋法是以目標導向法為指引，多次迭代使用黑盒理論、白盒理論和定義搭橋法，構(gòu)造一套用于離散數(shù)學理論推導和證明的邏輯體系，其執(zhí)行算法主要包括5個步驟，如下所示。
步驟1:采用黑盒理論，提煉出證明目標。步驟2:采用定義搭橋法，搭建出證明框架。步驟3:若出現(xiàn)證明子目標，則執(zhí)行步驟2;否則執(zhí)行步驟4。步驟4:采用白盒理論，填充證明框架。若出現(xiàn)證明子目標，則執(zhí)行步驟2;否則執(zhí)行步驟5。步驟5:證明結(jié)束。
下面將以實例來詳細介紹黑白目橋法及執(zhí)行流程。
三、黑白目橋法詳解
本節(jié)將描述目標導向法、黑盒理論、定義搭橋法和白盒理論這四種基礎(chǔ)知識，并舉例說明在離散數(shù)學理論證明和推導中如何應(yīng)用黑白目橋法。
(一)目標導向法
目標導向法也稱為問題導向法，其思想是:首先尋找有價值或有意義的目標(問題)，然后以目標為導向，通過有意識和無意識兩種方法深度發(fā)掘目標后面的知識點、重難點及整個知識體系，通過解決問題或建立知識架構(gòu)的方式完成整個過程。目標導向有兩種形式，一種是有意識的目標導向，另一種是無意識的目標導向。其中，有意識的目標導向適用于專業(yè)課程類，學生主動、有意識地尋找問題及背后的知識，而不是無意識發(fā)現(xiàn)問題后才臨時做進一步的研究。
目標導向非常有效，可以減少大量無用功，直奔目標，而且只要對目標有初步了解就能建立知識間的聯(lián)系和知識構(gòu)架。但該理論在離散數(shù)學教學過程中執(zhí)行起來有困難，尤其是在尋找目標方面，需要學生站在一定高度去思考問題。下面將介紹黑盒理論，并用該理論引導學生以俯視或者旁觀者的視角來鎖定目標。
(二)黑盒理論
最初，黑盒理論主要用于軟件測試。黑盒理論測試法是把測試對象看作一個不能打開的黑盒子，測試人員完全不考慮測試對象內(nèi)部邏輯結(jié)構(gòu)的特性，僅依據(jù)規(guī)格說明書，檢查測試對象是否符合它的功能說明。因此，黑盒測試也稱功能測試。[12]在離散數(shù)學教學過程中，本文將黑盒理論應(yīng)用于證明目標的提煉上，舉例如下。
例1[4]:設(shè)R在集合A上是一個二元等價關(guān)系，設(shè)S={|對于某一c，有∈R且∈R}，證明:S在集合A上也是一個等價關(guān)系。
學生在證明此題時，很容易被關(guān)系S的內(nèi)部復雜結(jié)構(gòu)所吸引，進而丟失目標，迷失方向。這時任課老師應(yīng)該指導學生跳出對S內(nèi)部復雜結(jié)構(gòu)的關(guān)注，將關(guān)系S看作一個黑盒，先不用糾結(jié)于S的數(shù)據(jù)內(nèi)部構(gòu)成，幫助學生鎖定證明目標:“S在集合A上是一個等價關(guān)系”。該證明目標就如茫茫海洋上的指明燈，提供了證明方向。接下來，通過定義搭橋法搭建出該證明目標的具體框架。
(三)定義搭橋法
搭橋法是指在前提與目標之間存在明顯跳躍性時建立聯(lián)系的一種方法。[13]定義搭橋法作為搭橋法的衍生物，是在搭橋法基礎(chǔ)上，基于已有定義在前提和目標之間建立關(guān)系的一種方法。如上一節(jié)的例1所示，根據(jù)等價關(guān)系的定義(見定義1)，將原來的證明目標“S在集合A上是一個等價關(guān)系”轉(zhuǎn)化為“S在集合A上是自反、對稱和傳遞的”。上述目標轉(zhuǎn)化的過程就是依據(jù)已有定義1，在大目標“等價關(guān)系”與三個子目標“自反”“對稱”和“傳遞”之間搭起了橋梁，即定義搭橋法。
定義1[4]:設(shè)S是定義在集合A上的一個關(guān)系，若S是自反的、對稱的和傳遞的，則S稱為集合A上的等價關(guān)系。
在上述實例中，定義搭橋法可以將一個難解目標分解為三個子目標，而這三個子目標的求解則是分別基于自反關(guān)系、對稱關(guān)系和傳遞關(guān)系的定義再次使用定義搭橋法進行目標轉(zhuǎn)化，最終搭建出如表1所示的證明框架。一般來說，實踐證明推導過程，根據(jù)目標分解的層次會多次使用定義搭橋法。
至此，例1的證明框架已經(jīng)搭建完成，如表1所示。其中。。。，標記了待填充部分，所需要填充的內(nèi)容是為了從前提可以完美蘊含推出相應(yīng)的結(jié)論，即從“若”后面的前提完美過渡到“則必有”后面的結(jié)論。下面講述如何應(yīng)用白盒理論來填充證明框架，使證明過程變得完整。
(四)白盒理論
白盒理論也多用于軟件測試。白盒理論測試方法也稱為結(jié)構(gòu)測試法或邏輯驅(qū)動測試法，是基于測試對象的內(nèi)部邏輯知識，允許測試人員對程序內(nèi)部邏輯結(jié)構(gòu)及有關(guān)信息來設(shè)計和選擇測試用例，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)部代碼在算法、溢出、路徑、條件等中的缺點或錯誤，進而加以修正。如果說黑盒理論應(yīng)用的視角來自旁觀者，那么白盒理論應(yīng)用的視角就是來自當局者。
本文在證明過程中，使用白盒理論來填充證明框架，使得整個證明的邏輯完整化，這就要求學生了解數(shù)據(jù)對象的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。例如，例1中的數(shù)據(jù)S的內(nèi)部結(jié)構(gòu)為{|對于某一c，有∈R且∈R}。下面本文依舊采用例1，講述如何填充證明框架表1中第一個子目標“自反關(guān)系”的證明過程，如下所示。
自反關(guān)系填充思路如下:
1.觀察表1，出現(xiàn)了新的證明目標是∈S;
2.根據(jù)S的定義，欲證∈S，需證明存在一個元素c，滿足∈R且∈R(定義搭橋法)。
3.很容易得出:當c=x時，滿足∈R且∈R，因為R在A上自反。
4.回顧2，可得∈S。
至此自反關(guān)系的填充就完成了，如表2所示。另外兩個子目標(“對稱關(guān)系”和“傳遞關(guān)系”)的證明過程在邏輯上和上述自反關(guān)系類似，本文就不予以贅述了。至此大目標“S在集合A上是一個等價關(guān)系”的證明就完成了。
仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)，上述三個子目標的推理證明過程又各是一次黑白目橋法的應(yīng)用。為了便于理解，上述證明過程總結(jié)如圖1所示，與第2節(jié)中的黑白目橋法執(zhí)行算法流程相一致。
離散數(shù)學是計算機專業(yè)的一門重要專業(yè)基礎(chǔ)課程，它與計算機專業(yè)的相關(guān)課程密切相關(guān)。本文針對離散數(shù)學教學中普遍存在的邏輯推理證明學習困難的現(xiàn)狀，以目標導向法為指引，結(jié)合黑盒理論、白盒理論和定義搭橋法，提出一套新穎的基于黑白目橋法的離散數(shù)學教學理念，并通過實例具體闡述了黑白目橋法的應(yīng)用過程。該教學理念使得離散數(shù)學的邏輯推理證明過程有法可依，條理清晰;使學生易于理解掌握，激發(fā)了學生的學習興趣;更重要的是對學生其他學科的學習以及實際工程問題的解決具有良好的啟發(fā)作用，達到了培養(yǎng)具有良好邏輯思維能力和實際應(yīng)用能力的計算機專業(yè)人才的目標。
