發布時間：2019-11-11所屬分類：教育論文瀏覽：1次
摘 要： 摘 要: 不定積分是高等數學中的重要內容，不定積分的計算也是高等數學教學中的難點。探討不定積分中所蘊含的數學思維模式，結合教學實踐與經驗，給出不定積分教學中的切實可行的教學策略。 關鍵詞: 不定積分; 思維模式; 教學; 策略 在高等數學學習中，一元函
摘 要: 不定積分是高等數學中的重要內容，不定積分的計算也是高等數學教學中的難點。探討不定積分中所蘊含的數學思維模式，結合教學實踐與經驗，給出不定積分教學中的切實可行的教學策略。
關鍵詞: 不定積分; 思維模式; 教學; 策略
在高等數學學習中，一元函數積分學是高等數學內容中的重點與難點。不定積分又是積分學運算的基本工具，是積分學的基礎。因此，不定積分的教與學就顯得尤為重要。
一、不定積分中的數學思維
1. 不定積分概念與公式中的逆向思維
高等數學中求導或微分運算與不定積分是一種互逆運算，求不定積分與求導數( 微分) 是兩種方向相反的思維模式。因此基本積分公式源自于基本求導公式的逆推，不定積分的換元法實質與復合函數求導是一回事，利用乘法求導公式可以得到不定積分的分部積分公式。已經先入為主的求導數( 微分) 的思維模式，熟悉而簡單，因此求不定積分的逆向思維模式就多少會讓初學者有一些不適應，陌生且有一點兒難度。
2. 湊微分法( 第一類換元法) 中的直覺思維
湊微分法的實質就是逆向運用函數的微分法則，其難點在于不定積分中的中間函數并未明確指明，因此將被積函數中哪一部分湊成微分，這需要直覺思維。學生要形成這種“見微知著”的直覺思維能力，除了要求學生思維敏捷、靈活之外，還需要借助經驗、知識以及類比聯想等方法的綜合運用。在教學過程中，經常使用的方法就是引導并幫助學生歸納總結出常見的微分公式，從而逐步形成這種直覺思維能力。
3. 變量代換法( 第二類換元法) 與分部積分法中的轉換思維
變量代換法的實質在于通過合適的變量代換，將復雜的被積表達式轉化為簡單的被積表達式( 關于新變量的，例如三角代換、根式代換等) 。借助于不定積分的分部積分公式，也可以將某些復雜的不定積分轉化為較為簡單的不定積分。原理雖然易于理解，但具體如何操作來實現思維過程則需要遵循一定的規律與技巧。
4. 歸納總結中的比較思維
湊微分法、變量代換法、分部積分法是不定積分計算的三種主要方法。教學過程中，如果能夠有意識主動比較各種方法，會達到事半功倍的效果。例如兩類換元法，雖然在形式上和使用步驟上有明顯的區別，但它們的本質都是通過換元的技巧實現由繁變簡的目的。又如分部積分法使用過程中通常會用到“湊微分”這個步驟，這和湊微分法有明顯的區別: 湊微分法一般被積函數剩下的部分必須是中間函數的復合函數的形式。而分部積分法恰恰相反，湊微分之后，被積函數剩下的部分必須是另一類型函數的形式。
5. 解決問題中的定向思維
講解完主要內容之后引導學生對不定積分的積分方法進行總結，可以使學生“舉一反三”“觸類旁通”，形成定向思維，從而提高解決問題的能力。求不定積分的主要方法: 湊微分法( 熟悉常用的微分公式) 、變量代換法( 例如根式代換、三角代換等) 、分部積分法( 使用類型及技巧) 。其他類型與方法: 有理函數的積分、萬能代換等等。經過不斷的歸納與總結，學生會對所學知識點有深入的理解，從而對這些新學的知識形成知識塊，構成分層次的知識結構網絡，形成知識體系，這樣就將書本上的知識內容真正轉化為自己的定向思維與智力。這才是真正意義上的“學懂”“學會”。
6. 一題多解中的發散思維
高等數學中培養發散思維能力，“一題多解”就是最常見的方式。不定積分相關問題與解決方法的特點，為實施“一題多解”提供了極大的可能。采用多種不同的方法分析思考并求解不定積分問題，不僅有利于將各種不定積分公式和方法融會貫通、靈活使用，有利于提升學生的學習興趣、自信心以及解決問題的綜合能力，同時也能在潛移默化當中拓寬思維想象空間，從而培養學生的發散思維能力。
二、不定積分的教學策略
1. 注重基本概念的講解與梳理，適應逆向思維
在學習不定積分時，首先介紹原函數的概念，并先舉一些簡單例子強化原函數與不定積分之間的緊密聯系，要著重強調它們是孿生兄弟，即 ∫f( x) dx = F( x) + C 與 F'( x) = f( x) 要在腦海中同時出現，給了原函數就會聯想到不定積分，看到不定積分就會想到原函數。還有一點特別要對學生強調: 由于方法不同，原函數的表達式從形式上看往往不唯一，因此不定積分的結果看起來常常不唯一，這一點和絕大多數數學問題不一樣，這就要求學生對不定積分計算結果的準確性要有正確的檢驗方法。
2. 注重啟發式、探究式與分層次等教學方法的綜合使用，培養轉換思維能力
在導數計算中，只要熟悉導數概念與公式、導數的運算法則、各種類型的函數求導方法，就可以準確地求出導數或微分。不定積分盡管是微分的逆運算，但它的計算要比導數復雜得多，如果學生僅僅掌握不定積分的基本積分公式、運算法則與基本的積分方法，還遠遠不夠，教學一開始不要對學生有過高期望，不要指望所有學生都能較容易地弄清計算不定積分的不同方法，要善于啟發，堅持師生互動，由淺入深。
只要層層推進，由簡單到復雜，就可以有效引導學生積極思考問題，激發他們學習的主動性，取得良好的教學效果。
3. 注重教與學中的觀察、歸納與總結，提升直覺思維、比較思維和發散思維
學習不定積分，一定要多做題目，這很重要，但要學好不定積分，還必須學會發現規律，總結積分方法。教學中要正確引導他們學習和思考，要時常問問學生: 有沒有其他思路，有沒有更簡單的計算方法等等，幫助他們歸納總結，從而有效提升不定積分的理解和計算能力。學生在學會基礎的積分方法后，一定要問問他們有沒有其他解題方法，通過交流與啟發，少數同學會用其他計算方法。在講解的過程中，要及時發現學生的長處與不足，幫助他們分析、總結、歸納，慢慢體會不定積分的計算技巧，從而為學好不定積分打好基礎。
4. 注重不定積分習題課教學，鍛煉定向思維，形成綜合思維能力
習題課是高等數學教學十分重要的組成部分，既是學生對所學內容和知識的總結提高，更是學生的思維模式從感性上升到理性的質變。不定積分的習題課不僅僅是做些習題，更為重要的是通過習題課讓學生進一步掌握不定積分的主要思想方法與常用解題思路。由于不定積分的內容多，方法靈活，許多不定積分還有多種解題方法。因此，通過習題課的訓練，學生不單單會解基本題，更要學會多種方法綜合使用，只有這樣，才能較好較快地解決一些復雜的、綜合的不定積分問題。在習題課的教學中要把學生作業中出現的問題分析、歸納，及時展示給大家，讓他們明白出錯的原因以及改正的方法。對作業中好的思路與方法要表揚與鼓勵，并分享給大家，讓更多同學受益。與此同時，習題課的內容一定要及時更新，適當引入考研真題與實際應用題，這樣就可以從多個方面激發學生學習的積極性與主動性，幫助他們更好地掌握不定積分的思維模式與主要內容。
三、總結
作為高等數學不可或缺的組成部分，不定積分在教學中起著非常重要的作用。一方面可以傳授給學生相關知識，另一方面也能夠培養學生各種思維能力。不定積分本身的特點( 計算難度較大，有較強的靈活性與技巧性) 為教學既提供了機遇和平臺，同時又設置了挑戰與障礙。因此，必須努力用最優化的教學過程提升教學質量和教學效率。
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