發(fā)布時(shí)間：2020-04-14所屬分類(lèi)：科技論文瀏覽：1次
摘 要： 摘要：基于文化背景的差異，中國(guó)與西方對(duì)黃金分割的理解、推理與研究風(fēng)格迥異.明末《幾何原本》把黃金分割介紹到中國(guó)，其公理化的邏輯推理體系，使得中算家在耳目一新的同時(shí)，又不甚理解.在濃郁的中算傳統(tǒng)影響下，充滿(mǎn)功用主義的中算家首先考慮的是黃金分割
摘要：基于文化背景的差異，中國(guó)與西方對(duì)黃金分割的理解、推理與研究風(fēng)格迥異.明末《幾何原本》把黃金分割介紹到中國(guó)，其公理化的邏輯推理體系，使得中算家在耳目一新的同時(shí)，又不甚理解.在濃郁的中算傳統(tǒng)影響下，充滿(mǎn)功用主義的中算家首先考慮的是黃金分割如何使用.同時(shí)，在對(duì)黃金分割研究的推理論證過(guò)程中，經(jīng)驗(yàn)與演繹也交相輝映.通過(guò)展現(xiàn)清初中算家對(duì)黃金分割多樣的推理論證，呈現(xiàn)西方邏輯演繹體系逐漸被中算家所接受的過(guò)程.
關(guān)鍵詞：黃金分割;理分中末線(xiàn);邏輯推理;功用傳統(tǒng)
明末西學(xué)東漸，歐洲科學(xué)技術(shù)被翻譯介紹到中國(guó)，在西方數(shù)學(xué)中頗有特色的黃金分割①也隨之傳入.1607年《幾何原本》出版，稱(chēng)黃金分割為理分中末線(xiàn)，由此中算家得以了解這一數(shù)學(xué)知識(shí).《幾何原本》卷六“界說(shuō)”三稱(chēng)：“理分中末線(xiàn)者，一線(xiàn)兩分之，其全與大分之比例，若大分與小分之比例”“其分法，見(jiàn)本卷三十題，而與二卷十一題理同名異”[1].據(jù)此可知《幾何原本》六卷三十題介紹了作黃金分割的原理，引用二卷十一題的結(jié)論進(jìn)行論證，而二卷十一題又借助二卷第六題相關(guān)內(nèi)容.在典型的邏輯演繹推理體系下，《幾何原本》中對(duì)黃金分割法、理都有清楚的介紹.
明末清初的歷算學(xué)家是有可能通過(guò)《幾何原本》了解到西方演繹數(shù)學(xué)的真諦，但事實(shí)上徐光啟所寄往的“百年之后必人人習(xí)之”的局面并沒(méi)有如期實(shí)現(xiàn)[2].由于中算傳統(tǒng)推理模式與西方數(shù)學(xué)邏輯演繹存在較大區(qū)別，清初中算家對(duì)《幾何原本》中黃金分割及其推理方法不以為然.李子金(1621-1701)批評(píng)稱(chēng)：“《幾何原本》六卷第三十題求理分中末線(xiàn)，止言末率已成之形，而不言分截之法.二卷十一題雖言分截之法，而不言其理”[3].梅文鼎也對(duì)《幾何原本》中的推論十分不滿(mǎn)，他稱(chēng)：“理分中末線(xiàn)求法見(jiàn)本卷三十題，而與二卷十一題理同.至二卷十一題但云無(wú)數(shù)可解，詳見(jiàn)九卷，其義皆引而未發(fā)”[4].于是，李子金、梅文鼎、楊作枚等清初歷算學(xué)家結(jié)合自身情況對(duì)黃金分割問(wèn)題進(jìn)行推理論證，展現(xiàn)出中算特有的論證模式.本文即是對(duì)此歷史進(jìn)程做一研究，從而呈現(xiàn)西方邏輯演繹體系逐漸被中算家所接受的過(guò)程.
1李子金的“一線(xiàn)分身連比例”
李子金認(rèn)為黃金分割實(shí)為“一線(xiàn)分身連比例”，解決問(wèn)題的關(guān)鍵首先在3條線(xiàn)段成“連比例”，而后將連比例的3線(xiàn)歸為一線(xiàn)，則可滿(mǎn)足其定義，如此就能解決問(wèn)題.他從《幾何原本》三卷三十六題“從圓外一點(diǎn)出兩直線(xiàn)，一切一割圓，其割圓之全線(xiàn)偕規(guī)外線(xiàn)矩內(nèi)直角形與切圓線(xiàn)上直角方形等”得到啟示，認(rèn)為切割線(xiàn)定理中“全線(xiàn)乃初率，圓外線(xiàn)乃末率，切圓線(xiàn)乃中率”，滿(mǎn)足“連比例之法”，但非“一線(xiàn)分身之連比例”.不過(guò)李子金認(rèn)為能夠滿(mǎn)足條件的“一線(xiàn)”就包含在其中，且只有一條.他稱(chēng)：“連比例之線(xiàn)，不啻百于億萬(wàn)，至于一線(xiàn)分身之連比例，于百千億萬(wàn)線(xiàn)中止有一線(xiàn)，而本書(shū)不曾明言，是以不得不急為請(qǐng)求也.”于是李子金必然要論證這一線(xiàn)為何物.圖1Fig.1
且看李子金的推理模式：“天地之間既有一圓，必有一切圓之線(xiàn)與割圓之線(xiàn).其切圓之線(xiàn)，大于圓徑者，無(wú)算也;小于圓徑者，亦無(wú)算也.其割圓之線(xiàn)，在圓心之左者，無(wú)算也;在圓心之右者，亦無(wú)算也.其為連比例之線(xiàn)，蓋有不可勝窮者矣.而切圓之線(xiàn)與圓徑相等者，唯有一線(xiàn)割圓之線(xiàn)，平分圓心者，亦唯有一線(xiàn).茍明于此，一線(xiàn)之理而于一線(xiàn)分身連比例之法，思過(guò)半矣.”(圖1)
經(jīng)過(guò)一番枚舉，李子金采取簡(jiǎn)單歸納法，得出千百萬(wàn)線(xiàn)中能成理分中末線(xiàn)的唯一一條等于直徑的切線(xiàn)，而割線(xiàn)必過(guò)圓心，“其樞機(jī)只在切圓線(xiàn)與圓徑等，割圓線(xiàn)必平分圓之中心耳”.這只完成了一半，由此，李子金構(gòu)造了一個(gè)以圓半徑為勾，股為勾二倍的勾股形，以勾股入算，“只以初率之元線(xiàn)為股，折半為勾，勾弦差為中率，以勾弦差減股，余為末率足矣”.
李子金對(duì)于黃金分割的闡釋思路，是先從連比例入手，再尋找一線(xiàn)分身成連比例，最后通過(guò)建構(gòu)股為勾二倍勾股形進(jìn)行相關(guān)計(jì)算，整個(gè)推理論證是完整的.不過(guò)在討論一線(xiàn)分身連比例之時(shí)，李子金采用簡(jiǎn)單枚舉確定“一線(xiàn)”位置，隱然間有種“脫然貫通”的味道，這在嚴(yán)密的西方邏輯推理體系下是不被接受的.
2梅文鼎的“理分中末線(xiàn)出于勾股”
“幾何即勾股”是梅文鼎主要的數(shù)學(xué)論證模式[5]，他認(rèn)為：“唯理分中末線(xiàn)與勾股異源，今為游心與立法之初，而仍出于勾股.”[6]因此梅文鼎解決黃金分割的思路就是將其納入勾股理論之中.在《幾何通解》解《幾何》二卷第十一題、六卷第三十題、四卷第十一題中，梅文鼎得出句弦和、股、句弦較為連比例，這是將理分中末線(xiàn)歸結(jié)為勾股的關(guān)鍵.
如圖2“句弦和較相乘即同股冪之圖”所示，“癸庚弦，其冪庚乙.丙癸句，其冪丙戊.引庚甲至壬，使甲壬如癸丙，則庚壬為句弦和，丙庚原為句弦較.以較乘和，成丙壬長(zhǎng)方，內(nèi)截甲丁小長(zhǎng)方與戊辛等.”如此，則有句弦和、股、句弦較為連比例，即若設(shè)勾股形勾為a，股為b，弦為c，則b2=(c+a)(c-a).和李子金面對(duì)的問(wèn)題一樣，雖然梅文鼎得到句弦和、股、句弦較為連比例，但三線(xiàn)必須合為一線(xiàn)，方才符合理分中末線(xiàn)的定義.梅文鼎也是借助股為勾二倍的勾股形和半徑為弦長(zhǎng)的圓來(lái)進(jìn)一步論證推理. 圖2 圖3 Fig.2 Fig.3
在圖3中，梅文鼎給出丁丙戊句股形，令丁丙弦與丁乙等(亦與丁庚等).則可以構(gòu)建一系列等價(jià)條件：“丁戊句，亥戊為倍句，乙戊為句弦較，與庚亥等.戊庚為句弦和，與亥乙等.亥己為句弦和乘句弦較之積，與戊癸等.丙戊股，其冪甲丙”.由于甲丙方與亥己長(zhǎng)方等積(戊癸同)，可知庚戊和與丙戊股若丙戊股與戊乙較.又以戊乙較減亥乙和，余亥戊倍句，折半為句(丁戊或亥丁).或戊乙較與丙戊股亦若丙戊股與庚戊和.如此一來(lái)，則不論句小股大還是句大股小，“倍句(2a)與句股較(c-a)，必為句股和(c+a)之兩分線(xiàn)”這一結(jié)論都成立.用字母表示，即c+a=2a+(c-a).
至此，梅文鼎就可以完全用勾股來(lái)解釋理分中末線(xiàn)，“今于句弦和全線(xiàn)內(nèi)，取倍句如股，則先以股線(xiàn)為和較之中率者，今以如股之倍句當(dāng)之.而倍句原系句弦和全線(xiàn)之大分，于是和與倍句之比例，若倍句與較，亦即為全線(xiàn)與大分，若大分與小分，此理分中末線(xiàn)所由出也.”此即在b2=(c+a)(c-a)，c+a=2a+(c-a)兩式中，用2a替代b，則可以解釋黃金分割原理.
梅文鼎認(rèn)為黃金分割“仍出于勾股”，故尋得句弦和、股、句弦較為連比例，然后構(gòu)造一股為勾二倍的勾股形，并以弦為半徑做圓，推導(dǎo)出倍句與句股較必為句股和之兩分線(xiàn)，從而解釋黃金分割命題.梅文鼎的論證過(guò)程，較之李子金，邏輯推理更為清晰和嚴(yán)密，更重要的是，這一推理模式將黃金分割也納入到勾股理論之中，令梅文鼎所提出的“幾何即勾股”的數(shù)學(xué)會(huì)通模式更具說(shuō)服力.
3楊作枚的出入相補(bǔ)
受魏荔彤之邀，楊作枚為梅文鼎整理其數(shù)學(xué)天文著作，在《解八線(xiàn)割圓之根》中給出了自己解釋黃金分割的推理模式.楊作枚雖為梅文鼎編書(shū)，但他的論證方法與前人截然不同.“欲明理分中末線(xiàn)，先解方形及矩形”[7].在解釋黃金分割之前，楊作枚首先證明2條引理.
一解曰(引理1)凡正方形內(nèi)(如乙庚戊丙方)，依一角復(fù)作方形(如丁庚方)，以小方之各邊引長(zhǎng)之(如甲午辛壬)，即分元方戊庚為四分，小方之各邊，與大方之各邊，俱兩兩平行，其與小方丁庚相對(duì)之丁戊形，亦必正方形，左右所截之午壬甲辛二形，必皆矩形，而恒自相等.
即如圖4，在正方形庚戊中，作丁庚方，將各邊延長(zhǎng)，分原方形為相對(duì)兩正方形和兩相等長(zhǎng)方形.
一解曰(引理2)如圖5，任設(shè)一線(xiàn)如甲戊，兩平分之與乙，又任引長(zhǎng)之為戊庚，(不論長(zhǎng)短)其全線(xiàn)甲庚，偕引長(zhǎng)線(xiàn)戊庚(即子庚)矩內(nèi)形(甲子矩)，及半元線(xiàn)甲乙(癸丑等)上方形(癸辛方)并，成子丑壬甲罄折形，此形與半元線(xiàn)(乙戊)偕引長(zhǎng)線(xiàn)，乙庚上之乙丙方形等.
“明上二圖，可論理分中末線(xiàn)矣.”楊作枚的做法，如圖6所示，任作甲戊線(xiàn)，兩平分與乙，以甲戊線(xiàn)自之，作戊卯方，從乙平分處，向丁作乙丁線(xiàn).次以甲戊引至庚，令乙庚與乙丁等，于乙庚上作乙丙方，又取庚子與戊庚等，作癸子線(xiàn)，分戊丁與己，則戊己為戊丁元線(xiàn)之大分，己丁為小分.戊己、丁己、戊丁三線(xiàn)成連比例.戊丁與戊己，若戊己與己丁，而戊己為中率.
4“實(shí)用”的黃金分割
與西方數(shù)學(xué)傳統(tǒng)不同，中算家始終關(guān)注的是數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，這是中算顯著特點(diǎn).同時(shí)，明朝實(shí)學(xué)之風(fēng)盛行，這些影響著中算家對(duì)數(shù)學(xué)的研究.《幾何原本》中稱(chēng)黃金分割“為用甚廣，至量體，有所必需.十三卷諸題全賴(lài)之，古人目為神分線(xiàn)也”.明末《幾何原本》只譯前六卷，至于如何使用黃金分割，中算家無(wú)從得知.故梅文鼎言“故雖有此線(xiàn)，莫適所用”.清初中算家一方面要重構(gòu)黃金分割的論證模式，另一方面更要指出黃金分割的實(shí)用價(jià)值.
李子金將黃金分割用以解決圓內(nèi)接正五邊、十邊形畫(huà)圖問(wèn)題.《幾何原本》中介紹的作法十分不便，李子金給出了一種簡(jiǎn)單的方法，“凡作五邊形宜用下章，法為簡(jiǎn)狀”，這種方法即是黃金分割的應(yīng)用.
“有圓，求作內(nèi)切圓五邊及十邊形.如有甲乙丙圓，丁為心.先作甲乙過(guò)心線(xiàn)，次取戊丙度移于徑線(xiàn)為戊己，次作丙己線(xiàn)，則丙己為甲乙丙圓五分之一，以此為度，可作內(nèi)切圓五邊形.丁己度可作十邊形.”
李子金給出的作圓內(nèi)接正五邊形、正十邊形的方法，與古希臘托勒枚作圖法完全一致[9].薛鳳祚《歷學(xué)會(huì)通·正集》中求36°正弦時(shí)也用此法[10].托勒枚的方法李子金無(wú)從得知，薛鳳祚也沒(méi)有給出證明，故這種作法是李子金自己研究所得，難能可貴.
楊作枚也是要解決圓內(nèi)接正五邊、十邊形邊長(zhǎng)問(wèn)題，才研究了黃金分割.梅文鼎對(duì)黃金分割的研究更是如此，僅黃金分割的作法就給出了6種.這六種作法，理同形異，各有各的適用范圍.例如法5可以求圓內(nèi)接正五、十邊形，而法6“可于平面圓器上求之”[11].他又提出5種有關(guān)黃金分割的用法，包括平分圓為五分、十分，用以量十二等面體、二十等面體以及圓燈[4]，將黃金分割應(yīng)用于平面、立體幾何中，極大地?cái)U(kuò)展其使用范圍.而梅文鼎研究黃金分割最大的用處，恐怕在于論證理分中末線(xiàn)“仍出于勾股”
.傳統(tǒng)中算的實(shí)用特點(diǎn)深刻地影響著清初歷算學(xué)家，如何使用是他們研究黃金分割的出發(fā)點(diǎn).對(duì)于有著濃厚功用傳統(tǒng)的東方數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，中算家更為關(guān)注的是數(shù)學(xué)的應(yīng)用性.李子金獨(dú)自造出與托勒枚相同的作圓內(nèi)接正五邊、十邊形的方法，是對(duì)《幾何原本》方法的改進(jìn);梅文鼎在這方面做出了更大的成績(jī)，將黃金分割應(yīng)用于平面、立體幾何中，盡顯中算在應(yīng)用上的優(yōu)勢(shì).中算家在黃金分割應(yīng)用方面做出的成績(jī)，體現(xiàn)出中算傳統(tǒng)文化內(nèi)涵.
5結(jié)語(yǔ)
較之以前的輝煌，明代中算已經(jīng)無(wú)有光彩可言.明末中算家吸取以往數(shù)學(xué)家重術(shù)不重理的教訓(xùn)，尤為關(guān)心數(shù)學(xué)原理.此時(shí)黃金分割傳入中國(guó)，可謂適逢其時(shí).由于中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)注重算法而忽視算理，造成明代數(shù)學(xué)家對(duì)以前數(shù)學(xué)知識(shí)的無(wú)知，故明末以降，中算家更多關(guān)注數(shù)學(xué)原理，這對(duì)黃金分割也不例外.徐光啟將黃金分割翻譯為“理分中末線(xiàn)”①，較之西方，尤為強(qiáng)調(diào)“理”②字，體現(xiàn)了中算家對(duì)數(shù)學(xué)原理的迫切需要.然而基于東、西方數(shù)學(xué)傳統(tǒng)、文化風(fēng)格迥異，全盤(pán)接受西方邏輯推理體系，在有著悠久數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的中國(guó)行不通，李子金、梅文鼎和楊作枚皆棄西法而不用，另創(chuàng)新法.
李子金、梅文鼎、楊作枚的證明各有特點(diǎn).李子金的論證另辟蹊徑，從連比例入手解決黃金分割，觀察、歸納的成分更多.梅文鼎始終堅(jiān)信“幾何即勾股”，通過(guò)類(lèi)比將黃金分割納入勾股理論之中.楊作枚沒(méi)有強(qiáng)調(diào)“幾何即勾股”的論調(diào)，而是將傳統(tǒng)中算方法引入邏輯推理之中，直觀性更強(qiáng)，推理也更具邏輯性，其方法可謂中西合璧.三人的工作，一方面給出黃金分割多種推理模式，賦予了多樣化闡述，另一方面，也顯現(xiàn)出對(duì)西方演繹體系的逐漸接受過(guò)程.東、西方數(shù)學(xué)傳統(tǒng)相互碰撞，相互交融，使得黃金分割在清初呈現(xiàn)出與西方不同的道路，展現(xiàn)出中西數(shù)學(xué)會(huì)通頗具特點(diǎn)的一面.
相關(guān)期刊推薦：《黃金科學(xué)技術(shù)》創(chuàng)刊于1988年，本刊注重宣傳報(bào)道我國(guó)及世界黃金科學(xué)技術(shù)的基礎(chǔ)理論研究成果，黃金科學(xué)技術(shù)的新理論、新思想、新技術(shù)、新方法、新產(chǎn)品、新介紹，適合黃金科研、企業(yè)、礦山技術(shù)部門(mén)及生產(chǎn)和管理人員、勘探和選冶工作者、黃金材料及金融工作者、大專(zhuān)院校有關(guān)專(zhuān)業(yè)師生閱讀。
