發(fā)布時間：2020-04-14所屬分類：科技論文瀏覽：1次
摘 要： 摘要：基于文化背景的差異，中國與西方對黃金分割的理解、推理與研究風格迥異.明末《幾何原本》把黃金分割介紹到中國，其公理化的邏輯推理體系，使得中算家在耳目一新的同時，又不甚理解.在濃郁的中算傳統(tǒng)影響下，充滿功用主義的中算家首先考慮的是黃金分割
摘要：基于文化背景的差異，中國與西方對黃金分割的理解、推理與研究風格迥異.明末《幾何原本》把黃金分割介紹到中國，其公理化的邏輯推理體系，使得中算家在耳目一新的同時，又不甚理解.在濃郁的中算傳統(tǒng)影響下，充滿功用主義的中算家首先考慮的是黃金分割如何使用.同時，在對黃金分割研究的推理論證過程中，經(jīng)驗與演繹也交相輝映.通過展現(xiàn)清初中算家對黃金分割多樣的推理論證，呈現(xiàn)西方邏輯演繹體系逐漸被中算家所接受的過程.
關鍵詞：黃金分割;理分中末線;邏輯推理;功用傳統(tǒng)
明末西學東漸，歐洲科學技術被翻譯介紹到中國，在西方數(shù)學中頗有特色的黃金分割①也隨之傳入.1607年《幾何原本》出版，稱黃金分割為理分中末線，由此中算家得以了解這一數(shù)學知識.《幾何原本》卷六“界說”三稱：“理分中末線者，一線兩分之，其全與大分之比例，若大分與小分之比例”“其分法，見本卷三十題，而與二卷十一題理同名異”[1].據(jù)此可知《幾何原本》六卷三十題介紹了作黃金分割的原理，引用二卷十一題的結論進行論證，而二卷十一題又借助二卷第六題相關內容.在典型的邏輯演繹推理體系下，《幾何原本》中對黃金分割法、理都有清楚的介紹.
明末清初的歷算學家是有可能通過《幾何原本》了解到西方演繹數(shù)學的真諦，但事實上徐光啟所寄往的“百年之后必人人習之”的局面并沒有如期實現(xiàn)[2].由于中算傳統(tǒng)推理模式與西方數(shù)學邏輯演繹存在較大區(qū)別，清初中算家對《幾何原本》中黃金分割及其推理方法不以為然.李子金(1621-1701)批評稱：“《幾何原本》六卷第三十題求理分中末線，止言末率已成之形，而不言分截之法.二卷十一題雖言分截之法，而不言其理”[3].梅文鼎也對《幾何原本》中的推論十分不滿，他稱：“理分中末線求法見本卷三十題，而與二卷十一題理同.至二卷十一題但云無數(shù)可解，詳見九卷，其義皆引而未發(fā)”[4].于是，李子金、梅文鼎、楊作枚等清初歷算學家結合自身情況對黃金分割問題進行推理論證，展現(xiàn)出中算特有的論證模式.本文即是對此歷史進程做一研究，從而呈現(xiàn)西方邏輯演繹體系逐漸被中算家所接受的過程.
1李子金的“一線分身連比例”
李子金認為黃金分割實為“一線分身連比例”，解決問題的關鍵首先在3條線段成“連比例”，而后將連比例的3線歸為一線，則可滿足其定義，如此就能解決問題.他從《幾何原本》三卷三十六題“從圓外一點出兩直線，一切一割圓，其割圓之全線偕規(guī)外線矩內直角形與切圓線上直角方形等”得到啟示，認為切割線定理中“全線乃初率，圓外線乃末率，切圓線乃中率”，滿足“連比例之法”，但非“一線分身之連比例”.不過李子金認為能夠滿足條件的“一線”就包含在其中，且只有一條.他稱：“連比例之線，不啻百于億萬，至于一線分身之連比例，于百千億萬線中止有一線，而本書不曾明言，是以不得不急為請求也.”于是李子金必然要論證這一線為何物.圖1Fig.1
且看李子金的推理模式：“天地之間既有一圓，必有一切圓之線與割圓之線.其切圓之線，大于圓徑者，無算也;小于圓徑者，亦無算也.其割圓之線，在圓心之左者，無算也;在圓心之右者，亦無算也.其為連比例之線，蓋有不可勝窮者矣.而切圓之線與圓徑相等者，唯有一線割圓之線，平分圓心者，亦唯有一線.茍明于此，一線之理而于一線分身連比例之法，思過半矣.”(圖1)
經(jīng)過一番枚舉，李子金采取簡單歸納法，得出千百萬線中能成理分中末線的唯一一條等于直徑的切線，而割線必過圓心，“其樞機只在切圓線與圓徑等，割圓線必平分圓之中心耳”.這只完成了一半，由此，李子金構造了一個以圓半徑為勾，股為勾二倍的勾股形，以勾股入算，“只以初率之元線為股，折半為勾，勾弦差為中率，以勾弦差減股，余為末率足矣”.
李子金對于黃金分割的闡釋思路，是先從連比例入手，再尋找一線分身成連比例，最后通過建構股為勾二倍勾股形進行相關計算，整個推理論證是完整的.不過在討論一線分身連比例之時，李子金采用簡單枚舉確定“一線”位置，隱然間有種“脫然貫通”的味道，這在嚴密的西方邏輯推理體系下是不被接受的.
2梅文鼎的“理分中末線出于勾股”
“幾何即勾股”是梅文鼎主要的數(shù)學論證模式[5]，他認為：“唯理分中末線與勾股異源，今為游心與立法之初，而仍出于勾股.”[6]因此梅文鼎解決黃金分割的思路就是將其納入勾股理論之中.在《幾何通解》解《幾何》二卷第十一題、六卷第三十題、四卷第十一題中，梅文鼎得出句弦和、股、句弦較為連比例，這是將理分中末線歸結為勾股的關鍵.
如圖2“句弦和較相乘即同股冪之圖”所示，“癸庚弦，其冪庚乙.丙癸句，其冪丙戊.引庚甲至壬，使甲壬如癸丙，則庚壬為句弦和，丙庚原為句弦較.以較乘和，成丙壬長方，內截甲丁小長方與戊辛等.”如此，則有句弦和、股、句弦較為連比例，即若設勾股形勾為a，股為b，弦為c，則b2=(c+a)(c-a).和李子金面對的問題一樣，雖然梅文鼎得到句弦和、股、句弦較為連比例，但三線必須合為一線，方才符合理分中末線的定義.梅文鼎也是借助股為勾二倍的勾股形和半徑為弦長的圓來進一步論證推理. 圖2 圖3 Fig.2 Fig.3
在圖3中，梅文鼎給出丁丙戊句股形，令丁丙弦與丁乙等(亦與丁庚等).則可以構建一系列等價條件：“丁戊句，亥戊為倍句，乙戊為句弦較，與庚亥等.戊庚為句弦和，與亥乙等.亥己為句弦和乘句弦較之積，與戊癸等.丙戊股，其冪甲丙”.由于甲丙方與亥己長方等積(戊癸同)，可知庚戊和與丙戊股若丙戊股與戊乙較.又以戊乙較減亥乙和，余亥戊倍句，折半為句(丁戊或亥丁).或戊乙較與丙戊股亦若丙戊股與庚戊和.如此一來，則不論句小股大還是句大股小，“倍句(2a)與句股較(c-a)，必為句股和(c+a)之兩分線”這一結論都成立.用字母表示，即c+a=2a+(c-a).
至此，梅文鼎就可以完全用勾股來解釋理分中末線，“今于句弦和全線內，取倍句如股，則先以股線為和較之中率者，今以如股之倍句當之.而倍句原系句弦和全線之大分，于是和與倍句之比例，若倍句與較，亦即為全線與大分，若大分與小分，此理分中末線所由出也.”此即在b2=(c+a)(c-a)，c+a=2a+(c-a)兩式中，用2a替代b，則可以解釋黃金分割原理.
梅文鼎認為黃金分割“仍出于勾股”，故尋得句弦和、股、句弦較為連比例，然后構造一股為勾二倍的勾股形，并以弦為半徑做圓，推導出倍句與句股較必為句股和之兩分線，從而解釋黃金分割命題.梅文鼎的論證過程，較之李子金，邏輯推理更為清晰和嚴密，更重要的是，這一推理模式將黃金分割也納入到勾股理論之中，令梅文鼎所提出的“幾何即勾股”的數(shù)學會通模式更具說服力.
3楊作枚的出入相補
受魏荔彤之邀，楊作枚為梅文鼎整理其數(shù)學天文著作，在《解八線割圓之根》中給出了自己解釋黃金分割的推理模式.楊作枚雖為梅文鼎編書，但他的論證方法與前人截然不同.“欲明理分中末線，先解方形及矩形”[7].在解釋黃金分割之前，楊作枚首先證明2條引理.
一解曰(引理1)凡正方形內(如乙庚戊丙方)，依一角復作方形(如丁庚方)，以小方之各邊引長之(如甲午辛壬)，即分元方戊庚為四分，小方之各邊，與大方之各邊，俱兩兩平行，其與小方丁庚相對之丁戊形，亦必正方形，左右所截之午壬甲辛二形，必皆矩形，而恒自相等.
即如圖4，在正方形庚戊中，作丁庚方，將各邊延長，分原方形為相對兩正方形和兩相等長方形.
一解曰(引理2)如圖5，任設一線如甲戊，兩平分之與乙，又任引長之為戊庚，(不論長短)其全線甲庚，偕引長線戊庚(即子庚)矩內形(甲子矩)，及半元線甲乙(癸丑等)上方形(癸辛方)并，成子丑壬甲罄折形，此形與半元線(乙戊)偕引長線，乙庚上之乙丙方形等.
“明上二圖，可論理分中末線矣.”楊作枚的做法，如圖6所示，任作甲戊線，兩平分與乙，以甲戊線自之，作戊卯方，從乙平分處，向丁作乙丁線.次以甲戊引至庚，令乙庚與乙丁等，于乙庚上作乙丙方，又取庚子與戊庚等，作癸子線，分戊丁與己，則戊己為戊丁元線之大分，己丁為小分.戊己、丁己、戊丁三線成連比例.戊丁與戊己，若戊己與己丁，而戊己為中率.
4“實用”的黃金分割
與西方數(shù)學傳統(tǒng)不同，中算家始終關注的是數(shù)學的實用價值，這是中算顯著特點.同時，明朝實學之風盛行，這些影響著中算家對數(shù)學的研究.《幾何原本》中稱黃金分割“為用甚廣，至量體，有所必需.十三卷諸題全賴之，古人目為神分線也”.明末《幾何原本》只譯前六卷，至于如何使用黃金分割，中算家無從得知.故梅文鼎言“故雖有此線，莫適所用”.清初中算家一方面要重構黃金分割的論證模式，另一方面更要指出黃金分割的實用價值.
李子金將黃金分割用以解決圓內接正五邊、十邊形畫圖問題.《幾何原本》中介紹的作法十分不便，李子金給出了一種簡單的方法，“凡作五邊形宜用下章，法為簡狀”，這種方法即是黃金分割的應用.
“有圓，求作內切圓五邊及十邊形.如有甲乙丙圓，丁為心.先作甲乙過心線，次取戊丙度移于徑線為戊己，次作丙己線，則丙己為甲乙丙圓五分之一，以此為度，可作內切圓五邊形.丁己度可作十邊形.”
李子金給出的作圓內接正五邊形、正十邊形的方法，與古希臘托勒枚作圖法完全一致[9].薛鳳祚《歷學會通·正集》中求36°正弦時也用此法[10].托勒枚的方法李子金無從得知，薛鳳祚也沒有給出證明，故這種作法是李子金自己研究所得，難能可貴.
楊作枚也是要解決圓內接正五邊、十邊形邊長問題，才研究了黃金分割.梅文鼎對黃金分割的研究更是如此，僅黃金分割的作法就給出了6種.這六種作法，理同形異，各有各的適用范圍.例如法5可以求圓內接正五、十邊形，而法6“可于平面圓器上求之”[11].他又提出5種有關黃金分割的用法，包括平分圓為五分、十分，用以量十二等面體、二十等面體以及圓燈[4]，將黃金分割應用于平面、立體幾何中，極大地擴展其使用范圍.而梅文鼎研究黃金分割最大的用處，恐怕在于論證理分中末線“仍出于勾股”
.傳統(tǒng)中算的實用特點深刻地影響著清初歷算學家，如何使用是他們研究黃金分割的出發(fā)點.對于有著濃厚功用傳統(tǒng)的東方數(shù)學來說，中算家更為關注的是數(shù)學的應用性.李子金獨自造出與托勒枚相同的作圓內接正五邊、十邊形的方法，是對《幾何原本》方法的改進;梅文鼎在這方面做出了更大的成績，將黃金分割應用于平面、立體幾何中，盡顯中算在應用上的優(yōu)勢.中算家在黃金分割應用方面做出的成績，體現(xiàn)出中算傳統(tǒng)文化內涵.
5結語
較之以前的輝煌，明代中算已經(jīng)無有光彩可言.明末中算家吸取以往數(shù)學家重術不重理的教訓，尤為關心數(shù)學原理.此時黃金分割傳入中國，可謂適逢其時.由于中國傳統(tǒng)數(shù)學注重算法而忽視算理，造成明代數(shù)學家對以前數(shù)學知識的無知，故明末以降，中算家更多關注數(shù)學原理，這對黃金分割也不例外.徐光啟將黃金分割翻譯為“理分中末線”①，較之西方，尤為強調“理”②字，體現(xiàn)了中算家對數(shù)學原理的迫切需要.然而基于東、西方數(shù)學傳統(tǒng)、文化風格迥異，全盤接受西方邏輯推理體系，在有著悠久數(shù)學傳統(tǒng)的中國行不通，李子金、梅文鼎和楊作枚皆棄西法而不用，另創(chuàng)新法.
李子金、梅文鼎、楊作枚的證明各有特點.李子金的論證另辟蹊徑，從連比例入手解決黃金分割，觀察、歸納的成分更多.梅文鼎始終堅信“幾何即勾股”，通過類比將黃金分割納入勾股理論之中.楊作枚沒有強調“幾何即勾股”的論調，而是將傳統(tǒng)中算方法引入邏輯推理之中，直觀性更強，推理也更具邏輯性，其方法可謂中西合璧.三人的工作，一方面給出黃金分割多種推理模式，賦予了多樣化闡述，另一方面，也顯現(xiàn)出對西方演繹體系的逐漸接受過程.東、西方數(shù)學傳統(tǒng)相互碰撞，相互交融，使得黃金分割在清初呈現(xiàn)出與西方不同的道路，展現(xiàn)出中西數(shù)學會通頗具特點的一面.
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