發布時間：2020-04-11所屬分類：工程師職稱論文瀏覽：1次
摘 要： 摘要:金融資產價格的風險來自于自身價格的波動，而刻畫資產價格波動的指標是波動率.本文以上證綜合指數作為研究對象，通過廣義矩估計(GMM)方法給出隨機波動模型的參數估計和統計推斷.借鑒無窮小生成元，條件期望算子和微分算子Taylor展開等知識，從理論上給
摘要:金融資產價格的風險來自于自身價格的波動，而刻畫資產價格波動的指標是波動率.本文以上證綜合指數作為研究對象，通過廣義矩估計(GMM)方法給出隨機波動模型的參數估計和統計推斷.借鑒無窮小生成元，條件期望算子和微分算子Taylor展開等知識，從理論上給出GMM的必要條件，即正交矩條件，進一步應用GMM方法研究隨機波動率模型的參數估計，并通過應用重度抽樣粒子濾波器(SIR)給出隨機波動率的過濾估計值.實證結果表明，刻畫上證綜合指數需要引入隨機波動率，同時也發現隨機波動率模型能夠很好地描述一些重大的經濟現象.最后，根據所得參數估計結果，分析了隨機波動率模型的歐式看漲期權問題.
關鍵詞:隨機波動率模型;廣義矩方法;歐式看漲期權;蒙特卡洛方法
1引言
近年來，隨機波動率模型在金融領域中的應用非常廣泛.一方面，波動率能夠描述金融資產內在的波動規律，而且也是揭示資產價格未來不確定性的重要依據.另一方面，對于標的物相應的衍生品定價，波動率對其影響是比較顯著的，特別是芝加哥交易所把波動率作為一種商品進行交易.因此，研究隨機波動率模型就顯得尤為重要.
現代數理金融研究的分水嶺是從1976年Black和Scholes[1]的工作(B-S模型)開始的，他們在一些正則性假設條件下，應用對沖方法，構建了在風險中性條件下隨機微分方程和相應的衍生品定價公式.然而，理論和實證研究結果都表明在B-S模型中，波動率常數假設無法描述市場中價格的波動.事實上，應用期權價格所得隱含波動率具有微笑的性質[2]，這與常數的波動率模型不相符.因此，一些研究者考慮波動率具有隨機的現象.
另一個重要的特征是杠桿效應問題，該問題是刻畫收益率和波動率之間的非對稱性關系.實證研究結果表明，波動率和收益之間是負相關的，隱含著當波動率增加時，相應的股票價格減少，反之當波動率減少，相應的股票價格增加[3].事實上，杠桿效應的研究可為投資者和風險管理者提供風險防范的科學依據.由于波動率是刻畫風險的指標，因此對波動率的預測和度量通過杠桿效應可以很好地刻畫收益率的波動情況，從而達到對風險的防范.顯然，常數波動率模型是無法描述杠桿效應以及對風險進行防范.同時，Engle[4]研究發現，波動率具有聚集現象，也就是對金融時間序列數據觀測發現高或低波動率具有時段聚集的現象.而對常數波動率模型，顯然也無法刻畫波動率聚集現象.
相關期刊推薦：《工程數學學報》(雙月刊)1984年創刊，該刊為中國工業與應用數學學會會刊，是數學的理論與現代工業技相結合的綜合性學術刊物。其宗旨是及時報道有應用背景的數學創新性論文，和數學在國民經濟、工程技術中的應用方法與成果，推進數學理論研究與工程技術緊密結合，相互推進。主要刊登上述方面的學術論文，研究簡報及成果報道，同時刊登少量質量優秀的理論文章。
在B-S模型的基礎上，Hull和White[5]構建了隨機波動率模型，然而在該模型中，波動率可能會無限增大，這違背經濟學基本原理，因為無限大的波動率可導致風險無限大，風險無限大的金融產品是沒有價值的，因此其定價是沒有意義的.Heston[6]構建了具有均值回歸的隨機波動率模型，該模型既可保證波動率是正的，也保證了隨機波動率不會無限增大，并且通過引入相關系數來刻畫杠桿效應問題.在上述模型基礎上，Bates[7]應用S&P500的數據，研究了具有風險補償因子的隨機波動率模型.進一步，Pan[8]提出了具有彈性系數的隨機波動率模型，而且也引入風險補償因子.更多隨機波動率模型的論述可參考Duffie[9].在金融研究領域，Heston模型已經被廣泛地研究和應用，主要原因是該波動率模型能夠很好描述波動率具有的一些性質：厚尾現象、波動率聚集、杠桿效應、波動率的微笑等.
綜上所述，隨機波動率模型不僅彌補了B-S模型的缺陷，而且理論和實證都表明該模型能更好地描述金融數據自身尖峰厚尾特征，并且具有很好的波動率預測能力，特別是長期波動率的預測.然而相對B-S模型，因為引入新的狀態變量，并且該變量是不可觀測的，導致在對沖和參數估計及衍生品定價方面相對比較困難.因此，本文將研究隨機波動率模型的參數估計問題.
國內外已有一些學者研究了隨機波動率模型的參數估計問題.在國內，吳鑫育等[10]基于有效重要性抽樣方法研究隨機波動率模型對于我國證券市場價格的影響，然而該文作者在結論中提出杠桿效應問題是否對我國證券價格產生影響有待研究.吳鑫育等[11]應用有效重要性抽樣方法，引入雙杠桿門限來研究隨機波動率模型的非對稱效應，即在隨機波動率過程中引入一個外生隨機變量來刻畫波動率的動態行為.注意到，上述的參數估計將依賴于輔助核密度函數的選取，因此選取不當的輔助函數將影響到參數估計結果.鄭挺國和左浩苗[12]基于極差轉移機制構建了隨機波動率模型刻畫波動率結構變化的線性，他們的結論表明轉移波動率模型更好的刻畫熊市和牛市轉移的機制問題.蔣祥林和王春峰[13]應用馬爾科夫鏈蒙特卡洛方法(MCMC)研究隨機波動率模型的參數估計.事實上，在國外，Kim等[14]和Jacquier等[15]也應用MCMC方法給出了隨機波動率模型的參數估計.值得一提，Jacquier等人比較了極大似然估計，GMM算法，MCMC算法對于模型參數估計的有效問題.雖然在隨機波動率模型中，即使波動率是隱含狀態變量導致似然函數沒有解析解，但是A¨ıt-Sahalia[16]通過對似然率的近似給出極大似然的估計.Huang和Yu[17]基于Laplace方法，通過對似然函數近似，給出隨機波動率模型的有效參數估計.Durham[18]在Laplace方法基礎上，應用光滑和過濾方法來改善似然率函數，從而給出隨機波動率模型的參數估計.馮榮國[19]基于隨機波動率模型，應用廣義矩估計(GMM)方法[20]，研究了我國股市波動問題，他所使用的矩函數類似于Jacquier等[15]，而且也沒有考慮杠桿效應問題.
近幾年來，GMM算法已經得到廣泛的應用，特別是在模型的參數估計.一個主要的原因是GMM只需給出矩函數，而高階和自相關矩函數能很好地描述在隨機波動率模型中的參數問題，從而能通過參數的估計值來判斷波動率是否具有隨機性[21-23]，這是識別波動率和杠桿效應的重要依據，因此擬將使用GMM方法對模型進行參數估計.
本文基于廣義矩(GMM)方法給出隨機波動率模型的參數估計，而后以歐式看漲期權為例，給出了期權定價的數值結果.根據Hansen[20]研究結果，一個主要的困難是求矩函數和相應的正交性問題，雖然Jacquier等[15]應用GMM算法來研究隨機波動率模型的參數估計，然而該方法很難被延拓，如當引入相應的跳狀態變量時，那么Jacquier等人方法就難于直接應用.而本文所采用的矩估計方法具有一定的普遍性和適用性，這也是本文的創新點.本文主要是通過微分算子二階展開來估計矩函數，自相關函數和平方協方差函數.當選取合適的時間步長時，相應的所得估計矩函數誤差非常的小.如在實證部分中，選取每周交易次數，那么相應的誤差精度可達到4個有效數.同時，當引入其它狀態變量時，僅需要改變微分算子的形式，而不改變相應的計算方法和代碼，則可保持同樣的誤差精度.
4實證分析及應用
為了更好地統計分析，我們使用上證綜合指數的周交易數據，使用周頻率的數據是為了避免樣本數據跳躍的問題[23]，時間從2000年1月7日到2016年12月31日，總的數據量為856個(數據來源于Wind資訊).為了統計方便，使用的價格是開盤價和收盤價的平均值.圖1給出了上證指數和相應對數收益的圖形.為了計算方便，使用了收益率乘以100，而且也設置時間步長為∆t=1/52年，隱含著一年52個交易日，年化平均收益率µ=6.48%.
從表1可以看出，隨著矩函數個數的增加，相應的卡方值也增大.同時，從表1中數據可以看出，雖然在矩函數較少的情況下，回歸速率α較大，也就是波動率具有更少的持續現象，歸因于高的回歸速率α值.根據Fouque等[32]的論述，具有高的回歸速率值的標的物動態行為表現出更好的隨機性，但是從參數的估計方差可得，高的回歸速率所得均方差比較大，這隱含著參數估計結果可能不穩定.進一步，根據表1第4列的數據可看出，波動率的波動率是非零的，因此引入隨機波動率模型是必要的.此外，觀察表1中最后一列數據，發現當自協方差和自相關函數個數為30,40,50時，相應的卡方值沒有明顯的改變，然而考慮到參數估計的穩定性，本文將選擇50個協方差和自相關函數，這個選擇和Ait-Sahalia等[21]的選擇是一樣的.最后，當選擇50個協方差和自相關函數時，相關系數ρ=−0.9193，因此可說明杠桿效應是非常明顯的.
4.2隨機波動率估計
在這一部分，使用重度取樣粒子濾波器方法(SIR)給出隨機波動率的估計，相應的算法可以參文獻[33–35].根據Johannes等[35]的論述，SIR算法有三個方面的優勢：
1)該算法比較容易理解而且也較容易修改相應的代碼;
2)該算法對于大部分模型是有效的;
3)該算法比較容易引入其它的觀察變量，如相應衍生品的價格.
因此，本文將使用SIS方法給出波動率的估計.
4.3衍生品定價
由于本文主要目的不是分析衍生品的定價，因此將選擇簡單的歐式看漲期權為例進行說明.根據Cheng等[36]的研究結果，可以得出在風險中性下的隨機微分方程，并且所有模型的常數僅是做一個平移(也就是線性的變化)，而且該作者論述在模擬和實證分析中可以假設風險補償為零，并不影響結果的分析.同時，在Chan等[37]文章中，分析利率衍生品定價問題時，他們也假設風險補償因子為零.因此，為了簡化說明，本文可直接假設風險補償因子為零.
一般衍生品的定價方法有兩類：一是偏微分方程方法，二是蒙特卡洛方法.注意到，由于波動率是隨機的狀態變量，因此相應的衍生品定價所滿足的偏微分方程是二維的，而且具有交叉項，因此本質上計算比較困難.雖然已有一些計算方法可給出偏微分的數值計算，但是歸咎于交叉項，可能在離散過程需要高階的近似[38-40]，而且該偏微分方程在V=0處是退化的.這里值得注意，在計算衍生品相應的高維偏微分方程問題時，需要給出人工邊界條件，而且隨著維數的提高，相應的誤差幾何增長.另一方面，當波動率是高斯模型時，吳恒煜和陳金賢[41]應用特征函數方法給出期權定價的解析解;但是當隨機波動率是非高斯模型時，相應的衍生品是沒有顯示解的，這時需要通過數值方法給出結果.因此高維和交叉項問題很少應用偏微分方程的方法給出衍生品定價.鑒于此，本文直接利用蒙特卡洛方法計算，這是因為蒙特卡洛方法誤差不依賴維數的變化.
5結論
本文研究了隨機波動率模型的參數估計.根據條件期望算子的定義及微分算子展開，給出了高階矩函數的展開式并應用算子展開予以證明，同時也應用該方法給出相應的自協方差函數和自相關函數的表達式，并給出了有效的GMM估計方法.基于這些矩函數可得，隨機波動率模型的參數能通過GMM算法給予識別，特別是自協方差函數能夠識別波動率的隨機性特征和相應的杠桿效應.應用上證綜合指數，數值結果表明了當取50個矩函數時，相應的參數估計比較穩定，同時也提供了SIR算法估計隱含狀態變量—隨機波動率，所得估計結果很好解釋了2008年的金融危機及2016年股災的重大經濟事件對波動率沖擊的問題.最后，通過蒙特卡洛方法給出了不同到期日和內在價值看漲期權的價格.該數值結果很好的解釋了期權價格本質問題，即時間價值和內在價值.
作為將來的研究，將依賴于本文的估計方法進一步研究杠桿的迷惑或杠桿的反饋效應，以及研究具有跳聚集現象的隨機波動率問題.
SCISSCIAHCI
